PBR理论基础-1

《PBR理论基础-1》里面整理了辐射度量学的基本概念以及BRDF推导出的渲染方程。

辐射度量学

辐射度量学是对光照的一套测量系统和单位，它能够准确的描述光线的物理性质。
下面是里面的基础概念

辐射能量(Radiant energy)，指电磁辐射的能量,一般用大写的Q表示，单位是焦耳J。
辐射通量(Radiant flux)，指单位时间辐射出的能量，一般用$\Phi$表示，下方是和辐射能量的公式：
$$\Phi=\frac {dQ}{dt}$$
辐射强度(Radiant intensity)，指单位立体角由某一光源发出的功率，一般用大写的I表示，单位是SI（法语：Système International d'Unités），下方是和辐射通量的公式：
$$I(w)=\frac {d\Phi}{dw}$$
这里又会有一个问题，什么是单位角？首先要知道什么是立体角，就是对二维圆向三维球拓展的角。
首先考虑一下二维的角是什么？
通过弧度制我们可知，角可表示为弧长与半径的比值，圆的弧度值就是2$\pi$。
那么立体角已经呼之欲出了，就是投影面积与半径平方的比值，球的立体角值就是4$\pi$，立体角用$\Omega$表示，公式如下：
$$\Omega=\frac {A}{r^2}$$
按照上述公式，单位角也就可以得出:
$$dw=\frac {dA}{r^2}$$
现在就是求出单位面积的问题，通过下方的图可得出：

$$dA=(r\sin\theta d\phi)*(rd\theta)=r^2\sin\theta d\theta d\phi$$
$$dw=\frac {dA}{r^2}=\sin\theta d\theta d\phi$$
其实通过上图可以知道，当确定了$\theta$和$\phi$，我们便获得了一个方向，称它为$w$，然后在此微分，计算得出$dw$,这样就能知道辐射强度(Radiant intensity)，即可以表示某方向上光源亮度。
但如果是各项同性点光源，那么它所有方向上的亮度都与方向无关，即都是相同亮度的，则可以直接除以$4\pi$，得出$I=\frac {\Phi}{4\pi}$。
辐照度(irradiance)，指的是单位面积入射到表面上一点的辐射通量，一般用大写的E表示，单位为lux（照度，勒克斯），公式如下,$X$在某点的辐照度和辐射通量：
$$E(X)=\frac {d\Phi(X)}{dA}$$
兰伯特余弦定律（表面辐照度与光方向和表面法线夹角的余弦值成正比），要在前面多乘以一个余弦值，和高中某些知识很相似。

辐照度衰减，这个很好理解，现实生活中光越远肯定越弱，这个越弱是远处的点辐射度在衰减，假设光发射的辐射通量为$\Phi$且假设光发射的辐射通量在一个均匀的角分布，某点距离它$r$，则该点的辐射度$E$为：
$$E=\frac {\Phi}{4 \pi r^2}$$
关于为什么是r的平方，B站的一个视频很生动，不理解可以去看看。
辐射(radiance),描述光在环境中的分布的基本场景，与光线有关，即描述光线传播的一些属性，我们渲染的时候就是计算关于辐射的。
辐射(radiance)，也称为亮度(luminance)，指在一个表面在每单位立体角、每单位投影面积上所发射(emitted)、反射(reflected)、透射(transmitted)或接收(received)的辐射通量(功率)，单位为尼特，公式如下：
$$L(p,w)=\frac {d^2\Phi(p,w)}{dwdA\cos \theta}$$
描述辐射的图如下：

辐射包含两个：
入射辐射(Incident Radiance)，指到达表面的单位立体角的辐照度。即它是沿着给定光线到达表面的光(入射方向指向表面，公式如下：
$$L(p,w)=\frac {d E(p)}{dw\cos \theta}$$
出射辐射(Exiting Radiance)，指离开表面的单位投影面积的辐射强度。例如：对于面光(area light)，它是沿着给定光线发射的光(出射方向指向表面)，公式如下：
$$L(p,w)=\frac {dI(p,w)}{dA\cos \theta}$$
这样就与之前的两个概念联系起来了。